マルコフチェーンモンテカルロ (MCMC) モデル-サッカーの目標の予測
マルコフ連鎖モンテカルロ (MCMC) は、複雑な確率分布からのサンプリングに使用される統計手法です。 MCMCは直接予測方法ではありませんが、ベイズの階層モデルと組み合わせて使用して、パラメーターを推定し、試合中のサッカーのゴール数などの予測を行うことができます。
サッカーのゴールを予測するためにベイズの階層モデルと組み合わせてMCMCを使用する方法の一般的な概要は次のとおりです。
履歴データの収集: 各チームが得点したゴールの数、攻撃と防御の強み、ホームアドバンテージ、およびゴールスコアリングに影響を与える可能性のあるその他の関連要因など、過去の試合に関するデータを収集します。
ベイズ階層モデルの定義: 関連する予測子を使用してベイズ階層モデルを設定します。 一般的な予測因子には、チームの強さ (攻撃と防御) 、ホームアドバンテージ、および直接対決の記録が含まれます。 ベイジアンフレームワークでは、ドメインの知識に基づいて、またはパラメーターについてほとんど知られていない場合は、情報のないプリオールを使用して、これらのパラメーターのそれぞれの事前分布を定義します。
MCMCを使用したパラメーターの推定: Metropolis-HastingsやGibbsサンプリングなどのMCMCアルゴリズムを使用して、データが与えられたパラメーターの事後分布からサンプリングします。 このプロセスは、観察されたデータに応じたパラメータの分布を推定するのに役立ちます。
予測を行う: パラメーターの事後分布を使用して、今後の一致の予測を行います。 これは、推定されたパラメータを与えられた各チームの目標数の予測分布からサンプリングすることによって行うことができます。 これにより、さまざまな可能な結果とそれに関連する確率が提供されます。
精度を評価する: 予測を一致の実際の結果と比較して、モデルの精度を評価します。 予測変数、事前分布を調整するか、追加データを組み込むことにより、必要に応じてモデルを改良します。
ベイズ階層モデルと組み合わせてMCMCを使用する利点は、パラメータ値の不確実性を考慮することにより、パラメータのより堅牢な推定を提供することです。 さらに、パラメータに関する事前の知識や信念を組み込むことができ、データが限られている場合の予測を改善できます。
ただし、MCMCベースのモデルは、特に大規模なデータセットや複雑なモデルでは、計算量が多い場合があります。 これにより、ポアソン回帰などの単純な方法よりも実行が遅くなり、実装が困難になる可能性があります。
マルコフ連鎖モンテカルロ (MCMC) アルゴリズムをベイズの階層モデルと組み合わせて使用し、チームAとチームBの次の試合でサッカーのゴールを予測する簡単な例を示しましょう。
履歴データを収集する: 両方のチームの最後の5試合から次のデータがあるとします。
チームAの目標: 2、1、0、3、1
チームBの目標: 1、2、2、0、1
ベイズの階層モデルを定義します。この例では、各チームが得点したゴールの数が、パラメーターラムダ (λ) を持つポアソン分布に従う単純なモデルを考えます。 各チームのラムダは、パラメータアルファ (α) およびベータ (β) を有するガンマ分布に従うと仮定する。 実際には、チームの強さ、直接の記録などの追加の要素を組み込む必要があります。
以前の分布を設定する: ガンマ分布のパラメータ α および β に対して、有益でないプリアを選択する。 例えば、 α = β = 1を使用することができる。
MCMCを使用したパラメーターの推定: MCMCアルゴリズム (Metropolis-HastingsまたはGibbsサンプリングなど) を適用して、観測されたデータが与えられたパラメーターの事後分布からサンプリングします。 このステップでは、MCMCアルゴリズムは、観測されたデータと以前の分布を考慮して、各チームのラムダ (λ) のサンプルを繰り返し生成します。
予測を行う: 各チームのラムダ (λ) の事後分布からサンプルを取得した後、これらのサンプルを使用して、次の試合のゴール数の予測を生成します。 たとえば、チームAのラムダ (λ _A) の事後サンプルが [1.6、1.5、1.7、1.4、1.6] の場合、各ラムダのポアソン分布からサンプリングすることで、チームAが得点したゴール数の予測分布を計算できます。値。
精度の評価: 試合後、予想されるゴール数と実際に得点されたゴール数を比較します。 時間の経過とともに予測精度を追跡し、必要に応じてモデルを改良します。
この例は、サッカーゴール予測のためのベイズ階層モデルでMCMCを使用することに伴う基本的なステップを示しています。 この例は簡略化されているため、より多くの予測変数を含め、より正確な予測にはより大きなデータセットを使用する必要があることに注意してください。 さらに、MCMCアルゴリズムは計算量が多い可能性があるため、実際にそれらを実装するには、追加の最適化またはより強力なコンピューティングリソースが必要になる場合があります。